Понятие функции нескольких переменных. Функция двух и более переменных

) мы уже неоднократно сталкивались с частными производными сложных функций наподобие и более трудными примерами. Так о чём же ещё можно рассказать?! …А всё как в жизни – нет такой сложности, которую было бы нельзя усложнить =) Но математика – на то и математика, чтобы укладывать многообразие нашего мира в строгие рамки. И иногда это удаётся сделать одним-единственным предложением:

В общем случае сложная функция имеет вид , где, по меньшей мере, одна из букв представляет собой функцию , которая может зависеть от произвольного количества переменных.

Минимальный и самый простой вариант – это давно знакомая сложная функция одной переменной, производную которой мы научились находить в прошлом семестре. Навыками дифференцирования функций вы тоже обладаете (взгляните на те же функции ) .

Таким образом, сейчас нас будет интересовать как раз случай . По причине великого разнообразия сложных функций общие формулы их производных имеют весьма громоздкий и плохо усваиваемый вид. В этой связи я ограничусь конкретными примерами, из которых вы сможете понять общий принцип нахождения этих производных:

Пример 1

Дана сложная функция , где . Требуется:
1) найти её производную и записать полный дифференциал 1-го порядка;
2) вычислить значение производной при .

Решение : во-первых, разберёмся с самой функцией. Нам предложена функция, зависящая от и , которые в свою очередь являются функциями одной переменной:

Во-вторых, обратим пристальное внимание на само задание – от нас требуется найти производнУЮ , то есть, речь идёт вовсе не о частных производных , которые мы привыкли находить! Так как функция фактически зависит только от одной переменной, то под словом «производная» подразумевается полная производная . Как её найти?

Первое, что приходит на ум, это прямая подстановка и дальнейшее дифференцирование. Подставим в функцию :
, после чего с искомой производной никаких проблем:

И, соответственно, полный дифференциал:

Это решение математически корректно, но маленький нюанс состоит в том, что когда задача формулируется так, как она сформулирована – такого варварства от вас никто не ожидает =) А если серьёзно, то придраться тут действительно можно. Представьте, что функция описывает полёт шмеля, а вложенные функции меняются в зависимости от температуры. Выполняя прямую подстановку , мы получаем лишь частную информацию , которая характеризует полёт, скажем, только в жаркую погоду. Более того, если человеку не сведущему в шмелях предъявить готовый результат и даже сказать, что это за функция, то он так ничего и не узнает о фундаментальном законе полёта!

Вот так вот совершенно неожиданно брат наш жужжащий помог осознать смысл и важность универсальной формулы:

Привыкайте к «двухэтажным» обозначениям производных – в рассматриваемом задании в ходу именно они. При этом следует быть очень аккуратным в записи: производные с прямыми значками «дэ» – это полные производные , а производные с округлыми значками – это частные производные . С последних и начнём:

Ну а с «хвостами» вообще всё элементарно:

Подставим найденные производные в нашу формулу:

Когда функция изначально предложена в замысловатом виде, то будет логичным (и тому дано объяснение выше!) оставить в таком же виде и результаты:

При этом в «навороченных» ответах лучше воздержаться даже от минимальных упрощений (тут, например, напрашивается убрать 3 минуса) – и вам работы меньше, и мохнатый друг доволен рецензировать задание проще.

Однако не лишней будет черновая проверка. Подставим в найденную производную и проведём упрощения:

(на последнем шаге использованы тригонометрические формулы , )

В результате получен тот же результат, что и при «варварском» методе решения.

Вычислим производную в точке . Сначала удобно выяснить «транзитные» значения (значения функций ) :

Теперь оформляем итоговые расчёты, которые в данном случае можно выполнить по-разному. Использую интересный приём, в котором 3 и 4 «этажа» упрощаются не по обычным правилам , а преобразуются как частное двух чисел:

И, конечно же, грех не проверить по более компактной записи :

Ответ :

Бывает, что задача предлагается в «полуобщем» виде:

«Найти производную функции , где »

То есть «главная» функция не дана, но её «вкладыши» вполне конкретны. Ответ следует дать в таком же стиле:

Более того, условие могут немного подшифровать:

«Найти производную функции »

В этом случае нужно самостоятельно обозначить вложенные функции какими-нибудь подходящими буквами, например, через и воспользоваться той же формулой:

К слову, о буквенных обозначениях. Я уже неоднократно призывал не «цепляться за буквы», как за спасательный круг, и сейчас это особенно актуально! Анализируя различные источники по теме, у меня вообще сложилось впечатление, что авторы «пошли вразнос» и стали безжалостно бросать студентов в бурные пучины математики =) Так что уж простите:))

Пример 2

Найти производную функции , если

Другие обозначения не должны приводить в замешательство! Каждый раз, когда вы встречаете подобное задание, нужно ответить на два простых вопроса:

1) От чего зависит «главная» функция? В данном случае функция «зет» зависит от двух функций («у» и «вэ»).

2) От каких переменных зависят вложенные функции? В данном случае оба «вкладыша» зависят только от «икса».

Таким образом, у вас не должно возникнуть трудностей, чтобы адаптировать формулу к этой задаче!

Краткое решение и ответ в конце урока.

Дополнительные примеры по первому виду можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.1) , ну а мы берём курс на функцию трёх переменных :

Пример 3

Дана функция , где .
Вычислить производную в точке

Формула производной сложной функции , как многие догадываются, имеет родственный вид:

Решайте, раз догадались =)

На всякий случай приведу и общую формулу для функции :
, хотя на практике вы вряд ли встретите что-то длиннее Примера 3.

Кроме того, иногда приходится дифференцировать «урезанный» вариант – как правило, функцию вида либо . Оставляю вам этот вопрос для самостоятельного исследования – придумайте какую-нибудь простенькие примеры, подумайте, поэкспериментируйте и выведите укороченные формулы производных.

Если что-то осталось недопонятым, пожалуйста, неторопливо перечитайте и осмыслите первую часть урока, поскольку сейчас задача усложнится:

Пример 4

Найти частные производные сложной функции , где

Решение : данная функция имеет вид , и после прямой подстановки и мы получаем привычную функцию двух переменных:

Но такой страх не то чтобы не принято, а уже и не хочется дифференцировать =) Поэтому воспользуемся готовыми формулами. Чтобы вы быстрее уловили закономерность, я выполню некоторые пометки:

Внимательно просмотрите картинку сверху вниз и слева направо….

Сначала найдём частные производные «главной» функции:

Теперь находим «иксовые» производные «вкладышей»:

и записываем итоговую «иксовую» производную:

Аналогично с «игреком»:

и

Можно придерживаться и другого стиля – сразу найти все «хвосты» и потом записать обе производные.

Ответ :

О подстановке что-то как-то совсем не думается =) =), а вот причесать результаты немножко можно. Хотя, опять же, зачем? – только усложните проверку преподавателю.

Если потребуется, то полный дифференциал тут записывается по обычной формуле, и, кстати, как раз на данном шаге становится уместной лёгкая косметика:

Такой вот... ....гроб на колёсиках.

Ввиду популярности рассматриваемой разновидности сложной функции пара заданий для самостоятельного решения. Более простой пример в «полуобщем» виде – на понимание самой формулы;-):

Пример 5

Найти частные производные функции , где

И посложнее – с подключением техники дифференцирования:

Пример 6

Найти полный дифференциал функции , где

Нет, я вовсе не пытаюсь «отправить вас на дно» – все примеры взяты из реальных работ, и «в открытом море» вам могут попасться какие угодно буквы. В любом случае потребуется проанализировать функцию (ответив на 2 вопроса – см. выше) , представить её в общем виде и аккуратно модифицировать формулы частных производных. Возможно, сейчас немного попутаетесь, но зато поймёте сам принцип их конструирования! Ибо настоящие задачи только начинаются:)))

Пример 7

Найти частные производные и составить полный дифференциал сложной функции
, где

Решение : «главная» функция имеет вид и по-прежнему зависит от двух переменных – «икса» и «игрека». Но по сравнению с Примером 4, добавилась ещё одна вложенная функция, и поэтому формулы частных производных тоже удлиняются. Как и в том примере, для лучшего вИдения закономерности, я выделю «главные» частные производные различными цветами:

И снова – внимательно изучите запись сверху вниз и слева направо.

Так как задача сформулирована в «полуобщем» виде, то все наши труды, по существу, ограничиваются нахождением частных производных вложенных функций:

Справится первоклассник:

И даже полный дифференциал получился вполне себе симпатичный:

Я специально не стал предлагать вам какую-то конкретную функцию – чтобы лишние нагромождения не помешали хорошо разобраться в принципиальной схеме задачи.

Ответ :

Довольно часто можно встретить «разнокалиберные» вложения, например:

Здесь «главная» функция хоть и имеет вид , но всё равно зависит и от «икс», и от «игрек». Поэтому работают те же самые формулы – просто некоторые частные производные будут равны нулю. Причём, это справедливо и для функций вроде , у которых каждый «вкладыш» зависит от какой-то одной переменной.

Похожая ситуация имеет место и в двух заключительных примерах урока:

Пример 8

Найти полный дифференциал сложной функции в точке

Решение : условие сформулировано «бюджетным» образом, и мы должны сами обозначить вложенные функции. По-моему, неплохой вариант:

Во «вкладышах» присутствуют (ВНИМАНИЕ! ) ТРИ буквы – старые-добрые «икс-игрек-зет», а значит, «главная» функция фактически зависит от трёх переменных. Её можно формально переписать в виде , и частные производные в этом случае определяются следующими формулами:

Сканируем, вникаем, улавливаем….

В нашей задаче:

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие функции нескольких переменных

Ранее была рассмотрена функция одной независимой переменной. Однако, решая конкретные практические задачи, исследователь, в общем случае, сталкивается с такими явлениями, которые зависят сразу от нескольких независимых переменных величин. В качестве самых простых примеров этого можно привести необходимость вычисления площади прямоугольника либо объема параллелепипеда. Действительно, площадь прямоугольника определяется двумя независимыми друг от друга величинами – длинами сторон прямоугольника и :

Объем параллелепипеда определяется уже тремя независимыми величинами – длинами его ребер , , :

Можно привести и более сложные примеры. Иначе говоря, число независимых переменных величин может быть каким угодно. В этих случаях говорят, что искомая величина является функцией двух, трех или большего числа переменных.

Часто пытаются исключить второстепенные переменные и оставить только одну, основную, то есть пытаются получить функцию одной переменной. Но это не всегда возможно. Упрощение выражения дает часто функцию двух или трех переменных. Сразу же необходимо отметить, что исследование функций многих переменных имеет подобные методы. Поэтому для простоты будем изучать функции двух переменных и полученные результаты при необходимости обобщать затем на произвольный случай.

В случае одной переменной функция являлась оператором, который каждому элементу из множества ставил в соответствие один и только один элемент из множества .

Каким же образом определяется аргумент функции двух переменных? Так как мы исследуем функции действительных аргументов, то величина такой функции зависит от пары двух действительных чисел. С точки зрения теории множеств это не что иное, как произведение двух множеств и , к которым принадлежат переменные и .

Определение 5.1.1 . Пусть , а , тогда произведение дает новое множество , каждый элемент которого содержит пару чисел .

Из определения 5.1.1 следует, что, зная множество значений и функции двух переменных, можно найти область ее определения. Очевидно, это будут все возможные комбинации и .

Произведение двух действительных числовых множеств и образует множество в пространстве . Графическое представление этого произведения – это плоскость или часть этой плоскости.

Определение 5.1.2 . Функцией двух переменных называется соотношение, которое каждой паре чисел ставит в соответствие одно и только одно число .

Если имеется функция переменных, то ее областью определения будет пространство или его часть. Такое множество уже графически не представимо.

Функции двух переменных, так же как и функции одной переменной, можно представить с помощью таблицы, графика или аналитического выражения. Табличный способ наименее удобен, однако, при экспериментальном определении значения функции он может оказаться единственным. Более информативны графическое и аналитическое задание функции. При этом последний способ наиболее удобен, так как дает возможность провести полное исследование данного понятия.

Для графического представления функции двух переменных рисуют трехмерную систему координат, например, прямоугольную декартовую. На плоскости изображают область определения данной функции. В каждой точке области определения восстанавливается перпендикуляр, который имеет длину, равную значению функции в этой точке. Объединяя все полученные точки, получают некоторую поверхность (рис. 5.1.1). Таким образом, графически функция двух переменных – это некоторая поверхность. Для изображения функций большего числа переменных графический способ уже не применим.

При аналитическом задании функции двух переменных записывается формула , при помощи которой по заданным значениям независимых переменных отыскивается значение функции. Увеличение числа переменных при аналитическом задании функции проблем не создает ().

При исследовании функции двух или нескольких переменных возникают те же понятия, что и для функции одной переменной: предел, непрерывность, приращения, производная.

Рассмотрим вначале сечения поверхности плоскостями и (рис. 5.1.2).

Так как на линии константой является , то на ней меняется лишь в зависимости от изменения . Если в точке задать приращение , то произойдет перемещение в точку . Разность аппликат в этих точках будет равна изменению значения функции , которое не будет зависеть от переменной .

Таким образом, давая приращение , получаем приращение , которое называется частным приращением по и обозначается .

Аналогично определяется частное приращение по : .

Давая одновременно приращения переменным и , получаем полное приращение функции: . При этом необходимо иметь в виду, что .

Введем теперь понятие окрестности точки на плоскости.

Определение 5.1.3 . -окрестностью точки с радиусом называется множество всех точек , которые удовлетворяют неравенству , или, иначе говоря, множество всех точек, которые лежат внутри круга радиуса с центром в точке (рис. 5.1.3).

На основании определения -окрестности можно ввести понятие предела функции двух переменных. Пусть функция определена в некоторой области (рис. 5.1.3). Возьмем в этой области некоторую точку . к точке;

3) определена во всех точках, но .

До сих пор мы занимались изучением функции одной переменной, т.е. изучением переменной, значения которой зависят от значений одной независимой переменной.

На практике часто приходится иметь дело с величинами, численные значения которых зависят от значений нескольких изменяющихся независимо друг от друга величин. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Площадь прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – сторон прямоугольника и : .

Пример 2. Работа электрического тока на участке цепи зависит от разности потенциалов на концах участка, силы тока и времени : .

Пример 3. Температура , измеряемая в различных точках некоторого тела, есть функция от координат точки, в которой она измеряется, и от момента времени : .

Определение 1. Назовем n -мерной точкой упорядоченный набор из чисел . Числа называются координатами -мерной точки . Множество всевозможных -мерных точек назовем n-мерным пространством и будем обозначать его . Точку назовем началом координат в -мерном пространстве, а число – размерностью пространства.

Частные случаи :

1. – числовая прямая;

2. – плоскость;

3. – трехмерное пространство.

Определение 2. Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных

Переменные называются независимыми переменными или аргументами , – зависимой переменной , символ – закон соответствия .

Также как и функцию одной переменной функцию нескольких переменных можно задать явно – и неявно – .

Любую явную функцию нескольких переменных можно представить как функцию точки в -мерном пространстве: , где точка определяется набором ее координат.

Если каждой точке из области определения соответствует одно значение , то функция называется однозначной , в противном случае – многозначной .

Множество называется областью определения функции , оно является подмножеством -мерного пространства. Подобно промежутку область может быть замкнутой или открытой в зависимости от того, содержит она свою границу или нет.

Естественной областью определения функции (1) называется множество точек , координаты которых однозначно обеспечивают вещественные и конечные значения функции . В дальнейшем, если дополнительные ограничения на изменение независимых переменных постановкой задачи не накладываются, под областью определения функции будем подразумевать ее естественную область определения.

Рассмотрим более подробно два частных случая, которые являются наиболее простыми и допускают геометрическую интерпретацию.

1. Функция двух переменных (n = 2)

Функцию двух переменных будем обозначать . Частное значение функции при , или в точке записывают в виде , , или .

Область определения функции есть подмножество точек координатной плоскости . В частности, областью определения функции может быть вся плоскость или часть плоскости, ограниченная линиями. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки плоскости, не лежащие на границе, будем называть внутренними .

Пример 4. Функция определена на всей плоскости .

Пример 5. Функции определена на всей плоскости, за исключением прямой .

Пример 6. Областью определения функции является множество точек плоскости , координаты которых удовлетворяют соотношению , т.е. круг радиуса 1 и с центром в начале координат. Область определения этой функции является замкнутой.

Следующий пример рассмотрим более подробно.

Пример 7. Найти область определения функции .

Решение.

Логарифм определен только при положительном значении аргумента, поэтому на аргументы имеется одно условие: .

Чтобы изобразить геометрически область , найдем сначала ее границу: . Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке , а ось направлена в положительную сторону оси .

Рис. 1.1

Парабола делит всю плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из этих частей выполняется неравенство , а для другой (на самой параболе ). Чтобы установить, какая из этих двух частей является областью определения данной функции, т.е. удовлетворяет условию , достаточно проверить это условие для какой-нибудь одной точки, не лежащей на параболе. Например, начало координат лежит внутри параболы и удовлетворяет нужному условию.

Следовательно, искомая область состоит из внутренних точек параболы. Сама парабола в область не входит, значит, область отрытая.

Определение 3.Окрестностью точки называется любой открытый круг, содержащий точку .

В частности, -окрестностью называется открытый круг с центром в точке и радиусом .

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.

При изучении функций нескольких переменных во многом используется уже разработанный математический аппарат для функции одной переменной. А именно: любой функции можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении функцию и при фиксированном значении функцию .

Следует иметь в виду, что хотя функции и имеют одно и то же "происхождение", вид их может существенно различаться.

Пример 9. Рассмотрим функцию . При функция является степенной, а при функция является показательной.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Как известно, функция одной переменной может быть изображена некоторой кривой на плоскости, если рассматривать значения ее аргумента как абсциссы, а значения функции как ординаты точек кривой.

Подобным же образом функция двух переменных может быть изображена графически.

Рассмотрим функцию , определенную в области на плоскости и систему прямоугольных декартовых координат . Каждой точке множества поставим в соответствие точку пространства , аппликата которой равна значению функции в точке : . Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которую естественно принять за графическое изображение функции .

Определение 4.Графикомфункции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением .

Рис. 1.2.

Таким образом, графиком функции двух переменных является поверхность , проектирующаяся на плоскость в область определения функции . Каждый перпендикуляр к плоскости пересекает поверхность не более чем в одной точке.

2. Функция трех переменных (n = 3)

Функцию трех переменных будем обозначать , при этом будем считать, что , и – независимые переменные (или аргументы), а – зависимая переменная (или функция).

Областью определения такой функции называется множество всех рассматриваемых троек чисел. Если функция задана аналитически, под ее естественной областью определения подразумевают совокупность всех троек чисел , для которых функция принимает действительные значения.

Определение 6.Окрестностью точки называется любая открытая сфера, содержащая точку .

В частности, -окрестностью называется открытая сфера с центром в точке и радиусом .

Изображая тройки чисел точками пространства , можно рассматривать функцию трех переменных как функцию точки пространства, а область определения функции трех переменных – как некоторое множество точек пространства.

При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.

Определение (для функции двух переменных). Пусть X , Y и Z - множества. Если каждой паре (x , y ) элементов из множеств соответственно X и Y в силу некоторого закона f ставится в соответствие один и только один элемент z из множества Z , то говорят, что задана функция двух переменных z = f (x , y ) .

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x ; y ) плоскости xOy .

Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной .

Множество D называется областью определения функции z , а множество E – множеством её значений . Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.

Частным значениям аргументов

соответствует частное значение функции

Область определения функции нескольких переменных

Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой z = f (x , y ) , то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y , для которых выражение f (x , y ) имеет смысл и принимает действительные значения . Общие правила для области определения функции нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной . Отличие в том, что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных - соответствующее множество точек абстрактного n -мерного пространства.

Область определения функции двух переменных с корнем n -й степени

В случае, когда функция двух переменных задана формулой и n - натуральное число :

если n - чётное число, то областью определения функции является множество точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю, то есть

если n - нечётное число, то областью определения функции является множество любых значений , то есть вся плоскость x0y .

Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени

если a - положительное, то областью определения функции является вся плоскость x0y ;

если a - отрицательное, то областью определения функции является множество значений , отличных от нуля: .

Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если - положительное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения большие или равное нулю: ;

если - отрицательное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .

Область определения логарифмической функции двух переменных

Логарифмическая функция двух переменных определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .